Ambas son cantidades vectoriales, que describen el movimiento circular, bien sea de la partícula o de un objeto extendido. Tienen la dirección del eje de rotación y el sentido es el mismo que el del giro, pudiendo ser horario (como se mueven las manecillas del reloj) o antihorario (contrario a las manecillas del reloj).
La distinción entre los dos sentidos se hace con signos: positivo (+) para la dirección antihorario, y negativo (−) para la dirección horaria. Es semejante a la forma de distinguir entre derecha e izquierda y, por supuesto, en ambos casos se necesita tomar alguna clase de referencia.
En el caso de las rotaciones, se utiliza la regla de la mano derecha. Para ello se enroscan los dedos de la mano derecha en la dirección de la rotación, entonces el pulgar extendido señala el vector velocidad angular.
Es de destacar que, en la notación de la velocidad y aceleración angulares, así como para la posición y el desplazamiento, se utilizan letras griegas. De esta manera se distinguen fácilmente de sus contrapartes lineales. Para la velocidad angular se utiliza la letra griega ω (omega) y para la aceleración angular la letra α (alfa), mientras que, para la posición angular, se emplea θ (theta).
Ecuaciones de la velocidad angular
La magnitud de la velocidad angular media \({{\omega }_{m}}\) se calcula a través de la razón entre el cambio de la posición angular Δθ (se lee “delta theta”) y el intervalo de tiempo Δt (se lee “delta t”):
\({{\omega }_{m}}=\frac{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }\theta }}{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }t}}\)
Donde Δθ es la posición angular final menos la inicial, medida en radianes y Δt es el tiempo final menos el inicial, medido en segundos. Por lo tanto, la unidad para \({{\omega }_{m}}\) es radianes /s, y si bien los radianes no se cuentan como unidades del Sistema Internacional, es conveniente colocarlos, para señalar así que se trata de una velocidad angular.
La velocidad angular instantánea se obtiene haciendo el intervalo Δt muy pequeño, casi 0 (pero no igual a 0). A este procedimiento se le denomina “tomar el límite”, cuando Δt tiende a 0:
\(\omega =\underset{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ t}\rightharpoondown 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }\theta }}{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }t}}\)
Este límite se conoce con el nombre de “derivada” y las letras griegas Δ se sustituyen con la “d”:
\(\omega =\frac{{d\theta }}{{dt}}\)
Un caso especial ocurre cuando la velocidad angular es constante. En tal caso, la velocidad angular media y la instantánea son iguales:
\({{\omega }_{m}}=\omega =\frac{{{{\theta }_{f}}-{{\theta }_{o}}}}{{{{t}_{f}}-{{t}_{o}}}}\)
Haciendo los siguientes cambios en la ecuación anterior:
\({{\theta }_{f}}=\theta \); \({{\theta }_{o}}=0;~\) \({{t}_{f}}=t\); \({{t}_{o}}=0\)
Se obtiene:
\(\omega =\frac{\theta }{t}\)
Ecuaciones de la aceleración angular
Si la velocidad angular no es constante, la aceleración angular describe su cambio. Inicialmente se define la aceleración angular media \({{\alpha }_{m}}\), como la razón entre la variación de la velocidad angular Δω y el intervalo de tiempo Δt:
\({{\alpha }_{m}}=\frac{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }\omega }}{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }t}}\)
De esta ecuación se deduce que la unidad para \({{\alpha }_{m}}\) es el radián sobre segundo al cuadrado (rad/s2)
Del mismo modo que se hizo con la velocidad angular instantánea, la aceleración angular instantánea α se calcula tomando el límite cuando Δt tiende a 0:
\(\alpha =\underset{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ t}\rightharpoondown 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }\omega }}{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }t}}\)
Y este límite es la derivada de la velocidad angular respecto al tiempo, equivalente a la derivada segunda de la posición angular, respecto al tiempo.
Todo esto se denota así:
\(\alpha =\frac{{d\omega }}{{dt}}=\frac{{{{d}^{2}}\theta }}{{d{{t}^{2}}}}\)
Hay un caso especial: el de la aceleración angular constante, en el cual la aceleración media y la instantánea son iguales:
\({{\alpha }_{m}}=\alpha =\frac{{{{\omega }_{f}}-{{\omega }_{o}}}}{{{{t}_{f}}-{{t}_{o}}}}\)
Cuando \({{t}_{f}}=0\) y \(~~{{t}_{o}}=0\), queda lo siguiente:
\(\alpha =\frac{{{{\omega }_{f}}-{{\omega }_{o}}}}{t}\)
Ejemplos de velocidad y aceleración angulares
El giro de objetos tales como ruedas de bicicletas, aspas de ventiladores, discos duros mecánicos, DVD, ruedas de autos, la noria de los parques de diversiones y muchos más, se puede describir a través de las citadas cantidades angulares.
Un punto sobre la rueda de una bicicleta
El ciclista hace girar las ruedas de la bicicleta a través del pedaleo. Inicialmente, las ruedas están en reposo y luego se mueven cada vez más rápido, lo cual significa que su velocidad angular va en aumento.
Un punto situado en alguna parte de la rueda, experimenta un movimiento circular acelerado, cuya aceleración angular pudiera (o no) ser constante, pero en todo caso, su sentido es el mismo que el de la velocidad angular.
Una vez alcanzada la velocidad deseada, el ciclista la mantiene constante un tiempo, y el punto tiene aceleración angular nula. Por último, cuando decide frenar, entonces el punto adquiere movimiento circular desacelerado, que también podría tener o no aceleración constante. Y en este caso, la aceleración angular tiene sentido contrario al de la velocidad angular.
Centrífuga
Las centrífugas son máquinas giratorias que sirven para separar partículas suspendidas en líquidos y gases, según su tamaño y densidad.
Una aplicación muy importante de las centrífugas en los laboratorios clínicos, es la de separar los glóbulos rojos de los blancos y del plasma, para realizar análisis de sangre. Asimismo, las industrias de alimentos lácteos, emplean centrífugas para separar la crema de la leche, entre otras aplicaciones.
Una centrífuga de laboratorio puede girar a razón de 12 000 rpm, donde rpm significa “revoluciones por minuto”, y una revolución es una vuelta completa. Se trata de una unidad de uso frecuente para la velocidad angular.
Como cada vuelta equivale a 2π radianes, esta centrifugadora tiene una velocidad angular de:
\(\omega =2\pi \times 12000\frac{{revoluciones}}{{min}}\times \frac{{1~min}}{{60~s}}=1256.6~\frac{{radianes}}{s}\)
Y mientras mantenga constante esta velocidad angular, su aceleración angular es nula.