Definición de Vector en Física elementos, tipos y operaciones

Lismarihen Larreal
Lic. en Ingeniera Mecánica

Los vectores son la herramienta que se utiliza para representar las cantidades físicas vectoriales, es decir, aquellas que, además de una magnitud, poseen dirección y sentido (orientación espacial). Como ejemplos de estas cantidades vectoriales tenemos: el desplazamiento, la velocidad, así como también la fuerza y aceleración, entre otras. Los vectores se representan por letras mayúsculas sobre la cual se dibuja una flecha (\(\vec{A}\)).

Elementos de un vector

Figura 1. Elementos que caracterizan a un vector.

• El origen o punto de aplicación de un vector, es el punto en el cual se encuentra aplicado o está actuando el vector.

• Línea de acción, es la línea infinita que nos indica la dirección en la cual se encuentra el vector.

• El módulo o magnitud, es un número real o cantidad escalar que representa la longitud del mismo, es decir, la distancia entre su origen y su extremo o punta. La magnitud de un vector se expresa como: \(\left| {\vec{A}} \right|\) ó \(A\).

• Dirección, representa el ángulo \(\theta \) que forma el vector con el respecto al eje horizontal positivo, medido en sentido contrario a las agujas del reloj.

• Sentido, está representado por la punta de la flecha del vector y se encuentra relacionado con la dirección del mismo.

Tipos de vectores

a) Vector fijo: es aquel que tiene un punto de aplicación u origen fijo, es decir, su efecto sobre el objeto está asociado al punto de aplicación.

b) Vector deslizante: puede ser aplicado en cualquier punto a lo largo de su línea de acción.

c) Vector libre: puede ubicarse en cualquier lugar del espacio.

d) Vector negativo u opuesto: es un vector que tiene la misma magnitud y dirección, pero sentido contrario a un vector dado.

e) Vector unitario: es un vector cuya magnitud es igual a la unidad, es adimensional (sin dimensiones) y que se emplea para indicar la dirección de un vector dado. Los vectores unitarios más utilizados son: \(\hat{i}~,~\hat{j}~,~\hat{k}\) que se emplean para indicar la dirección y sentido de los ejes coordenados \(x,~y,~z\), respectivamente.

Se puede calcular el vector unitario de cualquier vector dado como el cociente entre el vector y su magnitud, es decir:
• \(\hat{A}~=~\frac{{\vec{A}}}{\left| {\vec{A}} \right|}\)

Operaciones con vectores

a) Suma algebraica de vectores

Para sumar algebraicamente (sumar o restar) dos o más vectores debemos sumar algebraicamente cada una de sus componentes \(x,~y,~z\). Esta suma algebraica cumple con las siguientes propiedades:

• Conmutativa: \(\vec{A}+~\vec{B}~=~\vec{B}~+\vec{A}\)
• Asociativa: \(\vec{A}+\left( \vec{B}+~\vec{C} \right)=\left( \vec{A}+~\vec{B} \right)+\vec{C}~=~\left( \vec{A}+~\vec{C}~ \right)+~\vec{B}\)
• Distributiva vectorial: \(m~\left( \vec{A}+~\vec{B} \right)~=m~\vec{A}+m\vec{B}\)
• Distributiva escalar: \(\vec{A}~\left( m+n \right)=~m~\vec{A}+n~\vec{A}~\)

b) Multiplicación escalar de vectores

La multiplicación escalar o producto punto de dos vectores se define como:

• \(\vec{A}\cdot \vec{B}~=~\left| \vec{A}~ \right|~\left| {\vec{B}} \right|cos\theta \)

Donde, \(\theta \) es el menor ángulo comprendido entre ambos vectores, es decir, \(0{}^\circ ~\le ~\theta ~\le 180{}^\circ \). El resultado del producto punto de dos vectores en un escalar (un número).

Dado los vectores \(\vec{A}~=~{{A}_{x}}~\hat{i}+~~{{A}_{y}}~\hat{j}+~{{A}_{z}}~\hat{k}\) y \(\vec{B}~=~{{B}_{x}}~\hat{i}+~~{{B}_{y}}~\hat{j}+~{{B}_{z}}~\hat{k}\), también puede definirse en producto escalar entre ellos como:

\(\vec{A}\cdot \vec{B}=~{{A}_{x}}~{{B}_{x}}+~~{{A}_{y}}~{{B}_{y}}+~{{A}_{z}}~{{B}_{z}}\) = cantidad escalar

Algunas propiedades el producto escalar o producto punto son:

• \(\vec{A}\cdot \vec{B}~=~\vec{B}\cdot ~\vec{A}~\)

• \(\vec{A}\cdot \left( \vec{B}+~\vec{C} \right)=~\vec{A}\cdot \vec{B}+~\vec{A}\cdot \vec{C}\)

• Si \(\vec{A}~\ne ~\vec{0}\) , \(\vec{B}~\ne ~\vec{0}\) , \(\vec{A}\cdot \vec{B}~=~\vec{0}~\) entonces \(\vec{A}~\) Ʇ \(~\vec{B}\).

c) Multiplicación vectorial de vectores

Por definición, la multiplicación vectorial o producto cruz de dos vectores \(\vec{A}~\) y \(~\vec{B}\) se define como:

• \(\vec{A}~\times ~\vec{B}~=~\vec{C}\)

Cuya magnitud está dada por:

• \(\left| \vec{A}~\times ~\vec{B} \right|~=~\left| \vec{A}~ \right|~\left| {\vec{B}} \right|sen~\theta \)
Donde, \(\theta \) es el menor ángulo comprendido entre ambos vectores, es decir, \(0{}^\circ ~\le ~\theta ~\le 180{}^\circ \). El resultado del producto vectorial de dos vectores en un vector perpendicular al plano formado por los vectores \(\vec{A}~\) y \(~\vec{B}\).

Para realizar el producto vectorial o producto cruz de dos vectores \(\left| \vec{A}~\times ~\vec{B} \right|\), utilizamos la regla de la mano derecha, es decir, colocamos la palma de la mano derecha con los dedos en la dirección del primer vector que deseamos multiplicar (\(\vec{A}~\)) y al cerrar la palma hacemos el recorrido de llevar el vector \(\vec{A}~\) hacia el \(\vec{B}\), el dedo pulgar nos indicará la dirección del vector resultante, es decir, \(\vec{C}\).

Algunas propiedades importantes del producto vectorial o producto cruz son:

• \(\vec{A}~\times ~\vec{B}~=~-~\vec{B}~\times ~~\vec{A}~\)
• \(\vec{A}~\times \left( \vec{B}+~\vec{C} \right)=~\vec{A}~\times ~\vec{B}+~\vec{A}~\times ~\vec{C}\)
• Si \(\vec{A}~\ne ~\vec{0}\) , \(\vec{B}~\ne ~\vec{0}\) , \(\vec{A}~\times ~\vec{B}~=~\vec{0}~\) entonces \(\overrightarrow{A~}~\) // \(~\vec{B}\).

Por ejemplo

\(\hat{i}~\times ~\hat{j}~=~\hat{k}~~\), \(~\hat{j}~\times ~\hat{k}~=~\hat{i}\) , \(~\hat{k}~\times ~\hat{i}~=~\hat{j}\)

\(~~\hat{j}\times ~\hat{i}=~-\hat{k}~~\), \(\hat{k}~\times ~\hat{j}~~=~-\hat{i}\) , \(\hat{i}~\times \hat{k}~~~=~-\hat{j}\)

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Autora

Escrito por Lismarihen Larreal para la Edición #104 de Enciclopedia Asigna, en 09/2021. Lismarihen es Ingeniera Mecánica, con maestría en Física Aplicada y doctorado en Ingeniería Ambiental, asímismo se desempeña como Docente e Investigadora en el Depto. de Física de la Facultad de Ingeniería de la Universidad del Zulia.