La regla de tres aborda el procedimiento al que se recurre para determinar proporciones, directas o inversas. En la regla de tres simple, se conocen tres magnitudes y se quiere determinar una cuarta, conocida la relación existente entre dos de ellas, totalizando dos pares de magnitudes. Por su parte, en la regla de tres compuesta, hay tres pares o más, de magnitudes relacionadas, para resolver una incógnita. Se la denomina compuesta, porque consta de varias reglas de tres simples.
Partes del enunciado
• El supuesto, que consiste en la parte conocida del problema
• La pregunta, en la que se indica la incógnita o valor que se desea conocer
De esta manera se pueden resolver numerosos problemas de aparición frecuente. Por ejemplo, la siguiente cuestión:
“Si una barra de pan cuesta 50 céntimos, ¿cuánto cuestan 3 barras?”
En este caso, el supuesto es el precio de una sola barra de pan, y la pregunta es, obviamente, el precio de las 3 barras.
Regla de tres simple
En el ejemplo del precio de la barra de pan, se conoce el precio unitario, que es 50 céntimos/barra. Por lo tanto, el costo a pagar de cualquier cantidad de este item, se calcula multiplicando dicha cantidad por el precio unitario.
La operación correspondiente se plantea del siguiente modo:
1 barra de pan → 50 céntimos
3 barras de pan → x =?
Obsérvese que, en este planteamiento, las magnitudes semejantes están colocadas una debajo de la otra, con el supuesto en la fila superior. Se requiere que las unidades de las magnitudes semejantes sean las mismas y, al llevar a cabo la operación, verificar que las magnitudes semejantes se cancelen, quedando solamente la magnitud incógnita.
El valor de x se calcula así:
\(x=\frac{{3~barras\times 50~c\acute{e}ntimos}}{{1~barra}}=150~c\acute{e}ntimos\)
Regla de tres compuesta
En la regla de tres compuesta se comparan tres o más pares de magnitudes. Un ejemplo típico es el de la cuadrilla de operarios que construye un muro en determinado tiempo:
“Una cuadrilla de 4 personas ha construido 100 metros de un muro en 10 días, trabajando 8 horas diarias. ¿En cuántos días una cuadrilla de 6 personas hará 80 metros, si trabajan solo 6 horas diarias?”
Para obtener la respuesta, se ordena cuidadosamente el supuesto, y debajo la pregunta, dejando la incógnita en el extremo derecho de la segunda fila. Las magnitudes semejantes siempre se colocan una debajo de la otra y llevan las mismas unidades, tal como en la regla de tres simple:
4 operarios → 100 metros → 8 horas → 10 días
6 operarios → 80 metros → 6 horas → x =?
El método para resolver consiste en el siguiente procedimiento:
• A una magnitud que sea directamente proporcional a la incógnita se la denota con un signo (−) en la fila de arriba y un signo (+) en la fila inferior.
• Si la magnitud es inversamente proporcional a la incógnita, se la marca con signo (+) en la fila superior y un signo (−) en la inferior.
• A la incógnita se la denota siempre con signo (+).
En el ejemplo se tiene:
• A más operarios, se requieren menos días para completar la obra, por lo que son inversamente proporcionales. Entonces “4 operarios” lleva signo (+) y “6 operarios” lleva signo (–).
• Cuantos más metros de obra, más días se necesitan, son cantidades directamente proporcionales, por lo que “100 metros” es (−) y “80 metros” es (+).
• A más horas trabajadas, menos días se necesitan, son inversamente proporcionales, y así “8 horas” lleva signo (+) y “6 horas” lleva (–).
El supuesto y la pregunta quedan así:
4 operarios (+) → 100 metros (−) → 8 horas (+) → 10 días (+)
6 operarios (−) → 80 metros (+) → 6 horas (−) → x =?
Importante: Estos signos son distintivos, la operación para hallar el valor de x no lleva sumas ni restas, sino producto y cociente.
El valor de la incógnita es el cociente entre el producto de las magnitudes positivas y el producto de las negativas:
\(x=\frac{{4~operarios\times 80~metros\times 8~horas\times 10~d\acute{i}as}}{{6~operarios\times 100~metros\times 6~horas}}=7.1~d\acute{i}as\)
Ejemplos de ejercicios mediante la regla de tres simple
1.- Un rollo de estambre de lana tiene 336 m y pesa 160 gramos. ¿Cuántos metros tiene un rollo de 50 gramos de ese mismo estambre?
Respuesta
160 gramos → 336 metros
50 gramos → x =?
\(x=\frac{{50~gramos\times 336~metros}}{{160~gramos}}=105~metros\)
2.- Dos quintas partes de la capacidad de un estanque equivalen a 500 litros. ¿A cúantos litros equivalen 3/8 de dicho estanque?
Respuesta
Se desconoce la capacidad del estanque. Se la puede llamar “C”, pero no es necesario conocer su valor, pues se cancela durante la operación:
\(\frac{2}{{5~}}C~~~~~\)→ 500 litros
\(\frac{3}{{8~}}C~~~\) → x =?
\(x=\frac{{\frac{3}{8}C\times 500~litros}}{{\frac{2}{5}C}}=468.75~~litros\)
Ejercicios con la regla de tres compuesta
1.- Se requirieron 20 operarios para cavar un pozo en 8 días, trabajando 5 horas diarias. ¿En cuántos días 30 operarios podrían cavar un pozo igual, si se comprometen a trabajar 4 horas por día?
Respuesta
A más operarios y más horas trabajadas, menos días se requieren, por lo tanto:
20 operarios (+) → 5 horas (+) → 8 días (+)
30 operarios (−) → 4 horas (−) → x =?
\(x=\frac{{20~operarios\times 5~horas\times 8~d\acute{i}as}}{{30~operarios\times 4~horas}}=6.7~d\acute{i}as\)
2.- De un chorro salen 100 litros de agua por minuto, tardando 8 horas en llenar un tanque. Si se dispone de 5 chorros y cada uno provee 40 litros por minuto. ¿Cuántas horas tardará en llenarse un tanque de capacidad 6 veces mayor que el anterior?
Respuesta
Como no se conoce la capacidad del tanque, se la llama C. No es necesario conocer su valor, ya que se cancela al momento de hacer la operación. Nótese que:
• Capacidad y tiempo son directamente proporcionales, ya que un tanque más grande tarda más en llenarse.
• Caudal y tiempo son inversamente proporcionales, cuantos más litros de agua por minuto proporciona un chorro, menos tiempo tarda el llenado.
• Número de chorros y tiempo son inversamente proporcionales, ya que tener más chorros reduce el tiempo de llenado.
La operación queda así:
1 chorro (+) → 100 litros/minuto (+) → Capacidad = C (−) → 8 horas (+)
5 chorros (−) → 40 litros/minuto (−) → Capacidad = 6C (+) → x =?
\(x=\frac{{1~chorro\times 100\frac{{litros}}{{minuto}}\times 6C\times 8~horas~}}{{5~chorros\times 40~litros/minuto~\times C}}=24~horas\)